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Sei P ∈ C ein lokaler Parameter in P . Es ist f = (: f1 : ... : fn :), fi ∈ K(C). fi kann geschrieben werden als fi = gi /hi mit gi , hi ∈ OC,P . Sei gi = tai g˜ und hi = tbi h˜i mit g˜i (P ) = 0 = h˜i (P ). Dann ist fi = tai −bi g˜i /h˜i = tci f˜i mit f˜i ∈ OC,P , f˜i (P ) = 0. Wir k¨onnen c0 ≤ c1 ≤ ... annehmen. f = (: f0 : ... : fn :) = (: f˜0 : tc1 −c0 f˜1 : ... : tcn −c0 f˜n :) ist eine Darstellung von f , in denen die Komponenten regul¨ar in P sind und f˜0 (P ) = 0, also ist f regul¨ar in P .

V ist birational zu einer affinen Hyperfl¨ache W . Es folgt dim(V ) = dim(W ) = trgradK K(W ) = trgradK K(V ). 4 Projektive Variet¨ aten Sei V eine irreduzible projektive Variet¨at. P ∈ V heißt regul¨ar, wenn es eine irreduzible affine offene Umgebung U ⊂ V gibt, sodass P regul¨ar in U ist. Dies h¨angt nicht von der Wahl der Umgebung ab. Sei V ⊂ PnK eine irreduzible projektive Variet¨at und V = U0 ∪ ... ∪ Un eine Zerlegung von V in affine Variet¨aten. Wir k¨onnen annehmen, dass alle Vi = ∅ sind (sonst V ⊂ Hi ∼ = Pn−1 K ).

Zwei Transzendenzbasen haben die gleiche M¨achtigkeit. Sei L/K eine K¨orpererweiterung. Dann hat L eine Transzendenzbasis u ¨ber K und wir definieren den Transzendenzgrad von L/K trgradK L als die M¨achtigkeit dieser Transzendenzbasis. 44 Beispiel. , Xn ]/I(V ). , ym ) ist. , ym } ist also eine Transzendenzbasis von K(V )/K und trgradK K(V ) = m. 3 Algebraische Charakterisierung der Dimension Sei V eine irreduzible affine Variet¨at. Wir zeigen, dass dim(V ) = trgradK K(V ). , Xn ] irreduzibel ist.

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Algebraische Geometrie [Lecture notes] by Scheithauer


by Paul
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