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By B. L. van der Waerden (auth.)

ISBN-10: 3642580386

ISBN-13: 9783642580383

ISBN-10: 364263446X

ISBN-13: 9783642634468

In unnachahmlicher Weise versteht van der Waerden es, das Wesentliche einer mathematischen Theorie oder eines Teilgebietes verständlich und einprägsam zugleich darzustellen. Die beiden nun neu vorgelegten Bände der Algebra haben mehrere Generationen von Mathematikern als Einführung in die Algebra gedient, und viele greifen auch heute noch zu seinen Ausführungen, die nichts von ihrer Frische und Kraft verloren haben. Das Geleitwort von Jürgen Neukirch unterstreicht, welchen ganz besondern Stellenwert dieses Lehrbuch im deutschen Sprachraum einnimmt.

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Dann bestimmt die Gleichung f(VI, u) = 0 einen Unterraum Rn-I des Vektorraums R n, der VI nicht enthalt. Wahlen wir nun in diesem Unterraum, wenn moglich, einen Vektor V2, so daB f(V2, V2) =1=0 ist, so bestimmt die Gleichung f(V2, u) = 0 zusammen mit der vorigen einen Unterraum R n - 2 in Rn-I, der V2 nicht enthalt. So fahrt man fort, bis man zu einem Unterraum Rn-r gelangt, so daB f (u, u) = 0 fur aIle u in Rn-r und daher auch f(u, v) = 0 fur u und V in Rn-r. Es kann r = n Bern; dann ist Bn-r der Nullraum.

M:n ist @, 3. 1st sa, das Produkt aller m:1auBer m:" so ist m:,("\sa,=~, wobei ~ nur aus dem Einselement besteht. , 3. ) und daB fiir i oF j jedes Element von m:, mit jedem Element vop m:1 vertauschbar ist. Aus 2. folgt femer m:, sa, = @. m:, sa, = @. Die Gruppe sa, besteht aus allen Produkten al •.. an, in denen der Faktor at gleich e ist. Daraus folgt, daB der Durchschnitt aller sa, gleich ~ ist und der Durchschnitt aller sal mit j oF i gleich m:,. , 3. gewissermaBen dual sind: 1'. Jedes sa, ist Normalteiler in @, 2'.

Der Raum (t ist also direkte Summe der Teilriume 'Uf 58 : (t = 'Ul 58 (3) + ... + 'Um 58 . Die Formel (3) zeigt, daB der Modul (t von der Wahl der Basisvektoren in 58 unabhingig ist. Man kann die Elemente W von (t direkt in der Form (2) ansetzen und ihre Addition und Multiplikation mit Elementen von P definieren, ohne in 58 eine Basis einzufiihren. Ebenso kann man aber auch statt (1) schreiben (4) W = :L atVt Man hat also (5) (t = ~ VI • + ... + ~ V" und es zeigt sich, daB der Produktraum (t auch von der Wahl der Basis in ~ unabhingig ist.

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by Charles
4.3

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